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  • 2018.04.24 Tuesday
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7芒星と脳みそタリズマン

 

■オセアニア地区代表のオークランドシティはニュージーランドのチームだ。オールブラックスはこの国のラグビー代表の愛称だが、サッカーの代表チームはオールホライツと呼ばれている。

 

■地理的な意味でのオセアニアにはオーストラリアが含まれるが、オーストラリアはサッカーで切磋琢磨するために、敢えてアジアサッカー連盟に所属してW杯の出場権などを戦っている。

 

■ところでオーストラリアとオーストラリアの国旗は似ている。共に縦横1:2の1/4を大英帝国のユニオンジャックが占め、オーストラリアは青地に赤い5芒星4つの7芒星ている。

 

■オーストラリアは同じ位置に白い星を4つ配して南十字を表しており、さらに大きな星と小さな星が1つずつ加わっている。中々気付かないのは5つの星が7芒星であるということだ。

 

 

■小さな5芒星も混みで南十字星を表わしており、7芒星は現在の6州1準州を表すという。なるほどと思ってもう検索をやめようとしたその時、目の端に北海道の旗というものが映った。

 

■普通の7芒星よりさらにスリムな形をしている。この7芒星は蝦夷共和国の国旗の7芒星から来ているのだろうか。また札幌の旗は6芒星の中に5芒星が入っている。怪しい裏事情ありかも。

 

■消防のマークが6芒星で警察のマークは5芒星だから、そう驚くことではないかもしれないけれど、青森市の旗まで7芒星をしているではないか。歴史的にも蝦夷共和国とも関係ありなのかな。

 

■ところで360度を7で割ると割り切れず51度26分弱になるが、この角度はギザのピラミッドの傾斜角51度52分や、α水晶先端の傾斜角51度51分を連想させられる。7は名無し数でもある。

 

■7芒星の銀のペンダントはタリズマン(護符・お守り)としてよく効くらしい。今日の私はいつにも増して脳みそ足リズマンだから、7芒星について語らず、北方の温泉に浸かる夢をみよう。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


20・12面体のプチ精査

 

■20・12面体をメロンパン3で作っている時、この立体の線を辿っていくと、どの線も立体をぐるりと一回りしていることに気が付いた。ぐるり一回りで正10角形を作っていること、そしてそれが球体の大円(地球で言えば赤道のように最大半径の円)になっていることも。

 

■その本数が全部で何本あるのかは、線の数が60で、点の数が30、面数は正5角形12と正3角形20の32面、各点の不足角が24度であることなどから、計算すれば分かるのだけれど、実際に1つ1つの正10角形を辿っていって色分けしてみてようやく納得した。6本の大円ね。

 

■人がそれを見ただけで、言わんとする点がある程度分かるようなところまでちゃんと表現していきたい。全ては無理だし、自ら発見する喜びを奪わないように気を使うのもあるんだけれど、私はほれ、BABYMETALのサイドに立つって宣言したから。独りよがりも大変です。

 

 

■正12面体と正20面体の相貫体の共通部分でもあるこの20・12面体を面点変換すると菱形30面体になり、その立体の各面を対角線で4枚の合同の直角3角形に分割するとUVG120すなわち惑星グリッドとなり、それを面点変換させるとコードネーム・オオモノヌシとなる。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


福岡で綿棒多面体制作

 

■午前10時、福岡市中央区舞鶴にある福岡市健康づくりサポートセンターあいれふの研修室で、「HOLON art にじいろのたね」とAki Kawaguchiさんが企画してくれた「綿棒多面体制作」をスタート。

 

 

■この日は先ず最初に、プロジェクターを用いてプラトン立体における3組の双対立体の話をした。この正4−正4、正6−正8、正12−正20の相貫体の頂点を結んでできる3種類の菱形を全て作る。

 

 

■3種類の菱形の対角線が作る黄金比、白銀比、赤銅比。全て同じ長さの綿棒から黄金比φと白銀比√2を綿棒多面体で作りだす方法。そして最後は作った菱形30面体等をブラックライトで鑑賞する。

 

 

■ここ最近では、綿棒多面体制作する団体では世界でも一番先進的であろうチームASUKAからも、はるばる5人が福岡に参集してくれた。話の後は早速多面体制作を開始する。菱形12面体が難解かな。

 

■綿棒の軸部分に本数を指定して蛍光ペンで着色してくるように指示してあったので、制作終了後は一同自分の制作した綿棒多面体を数本のブラックライトが乗せてある机の上に並べて干渉タイムだ。

■なおこの日はチームASUKAと私の5人は、終了後香椎にある有馬さんのシェアハウスに宿泊して、翌日からの別府の旅に備えた。ちなみにこの日は選挙だった。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


多面体について(自分自身への前座として)



■5月4日、飛鳥イベント2日目の動画なんだけれど、午後1時から夕刻までのレギュラーな話『太陽系トポロジー2…月・地球・太陽』の前に、自分の話の前座として、自分自身で「多面体についての話」をしてみました。このツボは自分で自分の前座をするということです(^^)。

■話の内容は、多面体コーナーで綿棒多面体を作っている、チームASUKAのためのものして、プラトン立体などの最初の最初の話なんだけれど、忙しかったり、綿棒多面体制作に集中しているために画面を見る暇がなかったりだったみたい。ちょっと悲しい(笑)。

■隣りの絵画展示の部屋ではクリスタルボールの演奏があって、音として流れ込んで来ていますね。でもまあ逆にあちら側にしてみれば、演奏中に話が聞こえてきちゃったりして困ったかもですね。双方とも互いに忌み嫌うわけでなく、BGMとしてウェルカムであったと捉えております。












 

2つの変形の前と後と



■斜方切頭立方8面体から変形立方体へ

・斜方切頭立方8面体の頂点を1つ飛ばしに結ぶと変形立方体である。

・図の赤丸同士をつないだ形と、緑丸同士をつないだ形は鏡像である。


アルキメデス立体に関して去年の暮れからちょこちょこ書き込んでいるけれど、もう余り説明方にせずに図で分かるようにしてみました。斜方切頂立方8面体の頂点を1つ飛ばしに結ぶと変形立方体になるという話。見れば分かる。

下敷きのものがあるとはいえ、色を付けたりぽっちの丸を書いたりと、結構大変なんだよ、これがまた(笑)。よくも悪くもヘンタイだな。だれかいい意味でのヘンタイだと言ってくれ〜(笑)。

あ、4値だから「よくも悪くもヘンタイだし、よくもなく悪くもないヘンタイ」なのか?それともヘンタイだし、ヘンタイじゃないし、タメンタイだし、ハカタメンタイじゃないし…。

いや、わかったわかった、雪見露天のある温泉に行ってもいいぞ、オレ!(笑)



■菱形30面体から斜方20・12面体へ

・左上図の菱形30面体の、線が4本集まっている点を赤丸で、5本集まっている点を青丸で示した。

・赤丸頂点を削って3角錐とし、また青丸頂点を削って5角錐とすると、菱形30面体のもともとの面は正方形に残る。

・面の色をその由来の色に対応させたものが右上図の斜方20・12面体である。


アルキメデス立体のちょっとディープなところをずっとやっています。これも見て分かるように作図しました。菱型30面体の頂点を削っていって、斜方20-12面体にするという話。アルキ系の全体俯瞰図で位置も確認するとばっちり。















 


アルキメデス立体の俯瞰図(1)



■0■見れば分かるように構成してあるので、煩雑な文字解説は不要という人はただ見て下さい。老婆心で全体の作りを簡単に記しておいたので、興味のある人は文字列もご覧ください。老婆心って婆さんの方も結構疲れます(笑)。プラトン立体の5個はOKという人、今年はアルキメデス立体だよ。

■1■タイトル通りの「プラトン立体、アルキメデス立体、そしてその双対立体」の相関図だ。基本のプラトン立体の5つ「正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体」の色を、ドリームスペル仕様の「赤、白、青、黄、緑」にして見たけれど、白色が何気に地味なので紫色を当ててみた。

■2■アルキメデス立体の最初の5つは、プラトン立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体だ。削った部分だけ色を抜いておいた。次に画面右側に正6面体と正8面体を相貫させた共通部分のベクトル平衡体(立方8面体)、正6面体と正8面体を相貫させた共通部分の20・12面体の2つ。

■3■さらに右側に、その2つの立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体が、斜方切頂立方8面体と斜方切頂20・12面体の2つ。削った部分だけ色を抜いておいた。画面左側にめを転じよう。正6面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにすると、斜方立方8面体となる。

■4■同様に正8面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにしても、やはり斜方立方8面体となる。図では正6面体由来の正方形部分を同じ色にして置いた。正3角形部分のみを青で着色すると、正8面体側から切りだした立体を表すことになる。正6面体と正8面体双対関係が分かる。

■5■この斜方立方8面体の、正6面体の6面由来の正方形(図では紫に着色してある)に対して、元々線の部分だった正方形を2つの正3角形になるようにして線の長さを揃えると、少し捩れて変形立方体になる。正12面体と正20面体もま頂点と線部分を削って長さを揃えると斜方20・12面体となり、さらに同様の操作を加えることで、最も球体に近い変形12面体になる。

■6■なお画面上の色のついていない残る13個の立体は、アルキメデス立体の双対の立体である。立方8面体と双対の菱形12面体と、20・12面体と双対の菱形30面体は灰色で示してみた。また右下の斜方切頂六方20面体と双対の六方20面体は、惑星グリッドと呼びならわしている立体と同型である。














 

プラトン立体の面点変換過程のアルキメデス立体



■1■プラトン立体とアルキメデス立体の関係を文字づらばかりでとうとうと述べても、それを読む方の負荷はたまったもんじゃないので、画像で簡単にその関係性を示すことにしたい。
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■2■面点変換はある種の回転である。正6面体が直線的に正8面体になると考えるのではなく、その回転の途中の立体にアルキメデス立体が表れている。
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■3■「正6面体→正8面体」と、「正8面体→正6面体」の面点変換は表れる立体が逆になっている。これは「正12面体→正20面体」と「正20面体→正12面体」の関係でも同じてある。
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■4■ただし正4面体は面点変換しても逆向きの正4面体になり、もう1度面点変換してようやく元の向きの正4面体になるが、途中に現れる立体は正8面体と切頭4面体の繰り返しだ。
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■5■ここには13種あるアルキメデス立体のうち、7種が見て取れる。取り敢えず関係性を見てみよう。すでに変形12面体と斜方20・12面体も見ているので、残りはあと4種しかない。
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■6■1段目は正6面体が左から右へと削れて行き正8面体になるまでの中割り図だが、2段目は正8面体が右から左へと削れて正6面体になるまでの図だ。この2段は実は円環をなす。



■7■もう1つ、15年程前に作った正12面体−正20面体の系を面点変換の回転として表した図も。なお「加頭」というのは私の造語で、「加頭〇〇面体」というアルキメデス立体はない。














 

変形12面体と斜方20・12面体




■アルキメデス立体の中には、「変形12面体」とよく似た「斜方20・12面体」という立体がある。これらを比較してみよう。

・斜方20・12面体…面:62、辺:120、点:60
・一方変形12面体…面:92、辺:150、点:60

・斜方20・12面体の面は正3角形20枚、正方形30枚、正5角形12枚。
・片や変形12面体の面は正3角形80枚、正5角形12枚。


■次に斜方20・12面体の12枚ある正5角形を、同時に回転させてみよう。すると30個あった正方形の対角線が1:√3の菱形になるところがある。そこで短いほうの対角線で15.82度折り曲げると変形12面体になる。

■正5角形12面と正3角形20面を着色してみると、正方形1つが正3角形2つになることが分かるだろう。この変形12面体の正5角形は斜方20・12面体の正5角形よりも13.1064度捩れている。



■斜方20・12面体から変形12面体への変形の中割り画像を入れてみた。部分拡大から1辺1の正方形から1辺1で内角が60度と120度の菱形になり、1辺1の2つの正3角形になるということが見て取れよう。

■なおこの最初の回転を右側にするか左側にするかで、右手系と左手系の2種類の変形12面体が存在する。















 

変形12面体と正12面体


変形12面体と正12面体の要素の対応を見ていこう。先ず正12面体は正5角形の面が12、線は30、点は20である。



変形12面体の正5角形12枚を残して、80面ある正3角形を塗りつぶすとこうなるが、この赤い部分をそのまま正12面体の30本の線と20個の点に対応していると見ることができよう。



同様にしてそれぞれ3つの正角形に接している正3角形20個を塗りつぶすとこうなるが、これは正12面体の20個の頂点に対応していると見てとれるだろう。



こちらは上の点に対応している正3角形20個以外の残る正3角形60個を塗りつぶした図だが、正12面体の30本の線に対応してみることができるだろう。



この図はそれぞれの12面ある正5角形の5つの辺に正3角形をつけてヒトデ型にしてみた図だ。ヒトデ型が12面と20個の正3角形というわけだ。













 

変形12面体とその内部



■1■アルキメデス立体の1つ変形12面体を綿棒で作ってみた。プラトン立体は全部で5種類だが、アルキメデス立体は全部で13種類ある。普通はその中の13番目、つまり一番最後にエントリーされる立体だ。最初から1つずつ見て行くのが筋だが、太陽系を外側から見るようにまずはこの大物から見てみたい。



■2■面は正3角形80枚と正5角形12枚の和で92となる。立体が捩れているので正3角形の数は数え難そうだが、正12面体の30本の線に2個ずつの正3角形が、20個の頂点には1個の正3角形が対応していると捉えれば分かりやすい。また線は150、頂点は60で、各頂点に正3角形4枚と正5角形1枚が集まる。



■3■正5角形12面からなる正12面体を綿棒で作ると、安定せずにぐにゃぐにゃに歪んでしまうが、この変形12面体は正12面体の線に当たる部分が正3角形~なるので、補強なしでも自立すると思い、綿棒150本だけで作ってみた。接続部分の不均一さや重力により僅かには歪むが、思った通りちゃんと自立した。



■4■ところでこの内部にさらに綿棒で立体を入れるとしたら、それは一体どんな立体となるのだろう?実際に作ってみた。先ず正5角形面が内向きの正5角錐になるよう30本で補強した。その中に60本を用いて大星型12面体を入れてみたら、大星型12面体の12の頂点は正5角錐の12の頂点とぴったり接合した。



■5■最初の変形12面体で綿棒が150本、変形12面体形の補強用に30本、内接する大星型12面体が60本で、合計240本を使用したことになる。変形12面体はアルキメデス立体の中で最も球体に近い立体である。変形12面体については沢山言いたいことがる。いやアルキメデス立体に対してもいろいろ見て行こう。
 
■6■とは言ったものの、麺棒多面体の立体感覚が分からないかも知れないので、老婆心から動画を一つ上げておくことにします。39秒あります。画像はHDで見た方が細部が分かりやすいかと。














 

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