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  • 2019.08.22 Thursday
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サークルゲノムの立体化

 

■1■サークルゲノム。半径1の単位円の中に半径1/2の円を内接させると、そのすき間に半径1/3の円がぴったり収まった。そしてこの3円の中心を結ぶと辺長比3:4:5の直角3角形ができた。この3角形の中にぴったり収まる円の半径は1/6で、半径1/2と1/3の円がつくるさらなるすき間に収まる円に等しい。この半径1/6の円の中心は半径1/2と1/3の円の中心と直交で繋がっている。

■2■ここで最初の単位円の直径を12としてみよう。すると半径1/2の円の半径は3、半径1/3の円の半径は2、半径1/6の円の半径は1となる。また辺長比3:4:5の直角3角形の数値はそのまま保持される。つまり1:2:3:4:5が出揃い、さらに直径を考えれば6,8,9も導き出せる。またこの図の4か所に収まる半径1/6の円の中心を繋ぐと6×8の長方形ができ、この対角線から10も得られる。



■3■ではこの平面で描かれたサークルゲノムを3次元に起こしてみよう。大球の半径は6、中球の半径は3、小球の半径は2、単位球の半径は1となる。大球の体積は288π、中球の体積は36π、小球の体積は32π/3、単位球の体積は4π/3となり、4球の体積比は216:27:8:1となっている。半なお大球の中に中球は最大2つ入り、小球は最大13個入る。なお中球2個の時はそのすきまに小球が6個入る。

■4■「大球、中球2個、この2者の差」の体積は<288、72、216>である。したがってこの3者の体積比は<4:1:3>である。また「大球、小球13個、この2者の差」の体積は<288、416/3、448/3>である。したがってこの3者の体積比は<27:13:14>である。まさらに「大球、中球2個と小球が6個の和、この2者の差」の体積は、<288、136、152>である。したがってこの3者の体積比は<36:17:19>である。(1)



■5■次に大球の中で中球をぐるりと回してできる中トーラスの体積は54π=169.646…であり(※1)、大球との差は118.354…である。また中トーラスと小球2個との体積の和は190.979…であり、大球との差は97.021…である。同様に小球をぐるりと回してできる小トーラスの体積は32π=100.531…であり、大球との差は187.469…である。小トーラスと中球2個との和は172.531…で、大球との差は114.469…である。

■6■大球:中トーラス+2小球:2者の差=288:190.979:97.021≒3:2:1であること、及び大球:小トーラス+2中球:2者の差=288:172.531:114.469≒5:3:2であることは注目していいだろう。なお2中球に巻きつく小トーラスの外側に単位円をぐるりとまわすと単位トーラス対ができる。さらにそれ以降もより小さなトーラス対が順次はまり込んでいく。トーラスの体積は2π^2r^2Rで求められる。



■7■サークルゲノム及びその立体化した形態は、直交するトーラスモデルの次元断面として捉えることができるのではなかろうか?対称性の多重構造がどのようにそれぞれをプロットしていくかにもよるが、単位円内の中円の片方と、単位円のそとの全てが、単位円の残りと対の関係にあることを見極められる、1つの特異点の視座から眺めているのではないか。そして回転という相互関係がさらに対称性を高める。

■8■またここでは12/πという数を大円の直径とすることで、πを1つ相殺させて整数化させてみたが、1/πすなわちπの逆数とはどのような意味を持つのだろう?「無理な道筋を行く必要がないように結び目を作る、かみあうための未知数」として定義してみた。単位円及び単位球の内部での数と形を見やすくするために、1/πを用いたということだ。πのπ乗は36.4621…である。暦とも関係が出てくる。



■9■直交トーラスそのものの中に小球と表現した大球の1/3半径の球体を入れると、全部で12個が収まる。片方の小トーラスに6個入り、そのうちの1個はもう片方の小トーラスの中心穴に収まっている。もう片方の小トーラスもまた同じである。その6個ずつの小球にぬ1〜6の番号を振ってみた。ちょうど図は1の番号の小球対が互いの穴の中に収まっている。以下、番号順に位相を揃えて回転すれば同期する。

■10■この場合、対の仮に小トーラスをAとBとすると、トーラスBが一方的にトーラスAを回転しているようにも見え、逆に静止しているトーラスBの上を一方的にトーラスAが回転しているようにも捉えられる。問題は視座をどこに置くかで異なる。しかし双対トーラスの外に出ても、視座の特異点を見い出さねば互いが互いを回転しているのか否かは分からない。重心点はトーラス対の回転する中心に1つある。

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1)煩雑さを避けるために、この大円直径を12/πと考えることでπを抜いてある。














 


サークルゲノム(4)



■1■この直径比1/1:1/2:1/3の大円・中円・小円からなるサークルゲノムからは、図のように大円直径1/3の垂線と円周の交点と大円の中心を結ぶことで、正4面体の中心角であり、正8面体の2面角でもある109.5度(より正確には109度28分16秒)も描きだせる。

■2■方向が逆向きの2つの正4面体を相貫させることで、その重畳部分に正8面体ができ、8頂点を結ぶことで正6面体ができた。またこの正8面体と正6面体を相貫させることで、その重畳部分にベクトル平衡体が、14頂点を結ぶことで菱形12面体ができた。

■3■この関係にある小さい正8面体、正4面体、正4面体の相貫体(ケプラーの星型8面体)、ベクトル平衡体、正4面体、大きい正8面体、正8−6相貫体、菱形12面体の体積は1:2:3:5:6:8:9:12という自然数になる。サークルゲノムも1つの概念のカタチである。













 


サークルゲノム(3)



■1■日本語の波を5母音FFT(Fast Fourier Transform)という機械でフーリエ変換してスペクトルを出し、5母音のそれぞれを特徴づけているフォルマントを取り出してみると図表<1>のようになる。ただし男女差及び個人差があるので、その平均値を取って示してある。

■2■人間の聴覚認識は対数的なので、図表<2>は対数目盛で書き直したものだ。<2>の真中に赤い縦線で示したところは830Hzの位置である。ここを中心に日本語の<ア>⇔<オ>及び<エ>⇔<ウ>が対称的になり、<イ>は全てを包み込む「母音の秩序」がここにある。



■3■830Hzをほぼ中央にして、日本語の5母音<ア・イ・ウ・エ・オ>のそれぞれを特徴づけている第1及び第2フォルマント間を直径として回転させることで<ア・オ>とそれを内包する<エ・ウ>、そしてそれらを内包する<イ>を視覚的に概念化したものがこの図である。

■4■この図はピュタゴラス音階(もしくは中国の三分損益法)を拡張してオクターブを造り出した図と同じであるばかりでなく、太陽系トポロジーで地球と火星の公転軌道半径の関係を示したものとも同じである。中心である830Hzの縦のラインは母音を生むベシカパイシスでもある。















 


サークルゲノム(2)



■1■中国の三分損益法、もしくはピュタゴラス音階をさらに先に推し進めてドレミファソラシドのオクターブ音階を造るという概念を、弦の長さを回転させながら2/3と4/3を繰り返して、ドからソ・ラ・シ及びレ・ミを作る過程を視覚的に見て取れるように図示して見た。



■2■サークルゲノムの大円・中円・小円の直径比は1/1:1/2:1:3だが、大円と小円の比からレ・ミ・ソ・ラ・シを作ったように、大円と中円を用いて4/4と3/4からファを、さらにその2/3もしくは4/4と2/4からオクターブドを作る過程を図示して見た。



■3■弦の長さと振動数とは反比例の関係にあるが、弦長を回転させて円の直径として、それをさらに回転させながら1/1:1/2:1:3の関係で音階ができて行く概念を把握することも重要であろう。サークルゲノムからできる音階の弦長比を1つにまとめるとこのようになる。













 

サークルゲノム(1)



■1■位置の交換、自己他者問題、反転、面点変換、音階、単位円…などなど、様々な表現としてのキーワードがあるが、共通して捉えられるのは「回転」、そして「円の比分割」として表現できるということだ。これに単位円に外接及び内接する正方形を重ねれば実に多数の視覚的表現に置き換えられる。

■2■単位円を大円として、半径1/2の中円2つを内接させると、その2つのすき間に小円がぴったり入る。そしてその2つの小円の間にももう1つ小円がぴったり入る。つまりこの大円、中円、小円の半径比は1/1:1/2:1/3であるということだ。

■3■この3つの円の中心点をつなぐと直角3角形ができるが、この3辺の長さの比は3:4:5である。いわゆるピュタゴラスの3角形である。そしてこの直角3角形に内接する円を考えると、この辺長比に対して半径1、直径2となる。すなわち1:2:3:4:5が出揃うことになる。

■4■ここで整数比で見るために最初に単位円とした大円の半径を6とすると、中円及び小円の半径は3と2になる。この操作により、この数値と内部にできたピュタゴラスの3角形の1:2:3:4:5とは共通単位となる。サークルゲノムはペンターブシステムと組み合わせて表現される。 

■5■中円と小円と大円の間にさらに小さい円がはまり込むが、この円の半径は1である。この円と中円とのすき間にもさらに円が、そしてその円との間にも…と順次小さい円がはまり込んでいくが、20番目にはまり込む円は大円の直径に363個並ぶ。しかしサークルゲノムはそこまでトレースしない。














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