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プラトンのラムダ再考




■プラトンの著書『ティマイオス』には「プラトンのラムダ」というものが出てくる。それには一番上に1を配し、左下方には2,4,8と2倍数列が置かれ、右下方には3,9,27と3倍数列が配されている。この数の3角形の初期設定は簡単であり、そのままどこまでも伸ばすことができる。またこれらの数の間もその位置における設定にあう数で埋めて、図のように数の3角形として考えることもできる。

■円周率πの近似値を求める方法として、アルキメデスは1つの円に(各線の中心で)外接する正多角形と、(各頂点円で)内接する正多角形を想定した。この2つの正多角形の辺数をどんどん増やしていけば、円そのものにどんどん近似してゆくと考えたのである。アルキメデスは96角形を用いて円周率を試算し、ふたつの多角形からこれは31/3(≒3.1429)と310/71(≒3.1408)の間にあるという結果を得た。

■円を描いたコンパスをディバイダ代わりにして、その半径のまま円周を辿れば、ちょうど6つの点を得ることができる。最小の正多角形は正3角形だが、この6つの点をつなぐとこの円に内接する正6角形となる。またこの6点を通る接線を引いてつなげば、この円に外接する正6角形を描くことができる。



■この内接する正6角形の6辺の中点を円周まで持ち上げてその接点もつなぐと円に内接する正12角形となる。同じく外接する正6角形の6頂点を円周まで引き下げてその接線を描くと円に外接する正12角形となる。以下同様の操作を繰り返すことで、正24角形、正48角形、正96角形…を得ることができる。

■この(3)−6−12−24−48−96…の数の流れは、プラトンのラムダ(改)の第2段右の3から左下に続く数列に等しい。またこの数列に関しては、グルジェフが「3の法則」という表現で様々な事を言っているが、ここではそのことについては言及しない。

■アルキメデス音階のキモは2:3である。ほぼ同時期に中国で唱えられていた音律理論の「三分損益法」同様、基本的にはある弦長の3/2及びその倍音の3/4(振動数であればその逆数)を繰り返し組み合わせていってオクターブを構築する。このロジックで作られた全音の2度(例えばドとレ)の振動数の関係は8:9(=1:1.125)である。(平均律では1:1.23346…)この比はプラトンのラムダにおいては、3段目右端と4段目左端に現れている。



■ところでディトラクティスで見た1:2は倍音(オクターブ上音)であり、2:3は完全5度であり、また3:4は4度であった。振動数比が簡単な数の組み合わせからなる音同士は協和しやすい綺麗な響きとして聞こえたが、4:5の比が作る長3度もまた美しい響きであることも、ピタゴラスの頃から知られていた。

■さて8:9をそれぞれ2乗すると64:81となる。ピュタゴラス音階で完全5度を4回重ねて(例えばド−ソ−レ−ラ−ミと取り、このミを2オクターブ下げる)得られる長3度の振動数比はこの64:81となる。つまり純粋な長3度である4:5(=64:80)にはならないということだ。このようなずれを隠すために様々なテンペラメント(音程が固定される鍵盤楽器のような楽器を調律する際の方法論)が考案されてきたが、専門的になるのでこれも言及はしない。

■なお64:81の比を3と4の問題として、4の3乗:3の4乗と捉え直すこともできよう。64と81はそれぞれプラトンのラムダの7段目左端と5段目右端に見て取れる。



■ところで8^2/9^2=64/81=0.79012345679012345679012345679012…となるが、<790123456>もしくは<123456790>の9桁の循環小数部があることが分かる。この9桁の循環小数部には1〜9までの数のうち8だけがない。また純粋な長3度である4/5(=64/80)=0.8は逆に8だけである。

■64/81=0.790123456…から0.001000000001000…もしくは9桁ごとに1億分の1(1/100000000)を引けば、循環小数部は<123456789>となる。 


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