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アンビリック・トーラス(The umbilic torus)

 

■1■アンビリック・トーラスは、ヒラマン・ファーガソンが創出した数学的な芸術作品で、エッジ(縁)が1本しかない3次元のトーラス型の形状をしている。この唯一のエッジはこのトーラスのまわりを3度周回してから出発点に戻る。さらにアンビリック・トーラスはメビウスの帯と同様、面もまた1面しかない。

■2■'umbilic'とは数学用語では「臍点(せいてん)」という意味で、ラテン語の'umbilicus'からきている。古くは中心(点)の意味を持ち、文字通り人体の中心であるへそやへその緒などに関する意味がある。なお臍という漢字は「へそ」とも読むので、「へそてん」と呼んでも間違いではないが少し間が抜ける。

■3■がちがちの日本語に訳せば「臍点円環体」ともなろうが、これはこれでカッコ良さを超えて取っつきにくいよそよそしさを感じてしまう。折衷的に「へそ点トーラス」や「アンビリック円環体」でもいいけれど、今一つしっくりこないので、取りあえずここでは「アンビリック・トーラス」で通すことにしよう。



■4■2次元面上の円は1次元の線のリングで、その断面は0次元の点となる。3次元空間の中のメビウスの帯は1本のエッジ(縁)しかない2次元の面で、その断面は1次元の線となる。そしてこのアンビリック・トーラスもやはり1本のエッジしかない3次元の形状で、その断面は2次元のへこんだ3角形となる。

■5■円、メビウスの帯、アンビリック・トーラスはそれぞれ1、2、3次元のリング状である。3者ともに線(エッジ)は1本のみなのだが、それぞれリングを1、2、3回周回することで最初の点に戻る。なお小半径側の断面形であるへこんだ3角形のことを、数学的には内サイクロイド (hypocycloid)という。

■6■なお一応断っておくが、このアンビリック・トーラスを紹介したのは単に数学的・幾何学的知識を増やしてもらおうためではない。例えば点・線・面・胞などの次元の連続を、面点変換的な操作で連結し、ものごとの全体構造への透視図法を獲得するための何らかの発想触媒になるかもとのいらぬ老婆心からだ。



■7■表と裏が1本のエッジでつながっているメビウスの帯が、2元論的発想や2値的論理を超えた発想につながり得るように、このアンビリック・トーラスの1でも2でもなく3度の周回で元に戻るというカタチの在りようを見て、対立する2者の統合とはまた別の1:3や2/3という現実的着眼も可能なのである。

■8■さて上の図はアンビリック・トーラスの3面図である。真上からの図とは別の右の2つの図は真横の右側と左側、手前と背後からの視座の対称性を見て取れる。左図の上のエッジを辿って行くと、1つの面の両側にあるエッジはちょうど1周り半分ある。見えない部分も繋げると3重のダイナミックループになる。

■9■静止図だけではこのアンビリック・トーラスの裏側までは見られないので、ネット上のGIFアニメが見られるサイトのURLを下に貼り付けておいた。他者に与えられたものではない新しい発見や着想、自分自身の問題に対するヒントや解が湧いてくることがあるかも知れない。…ないかも知れない。

http://www.math.mcgill.ca/rags/torus.html

 ■10■なおこのトーラスの断面形である「へこんだ3角形」は、「内サイクロイド」 (hypocycloid)であると言ったが、下図にその断面を赤く示してみた。この3重対称性を有する3角形はトーラスの中心に対して360度回転する間にそれ自身は1/3回転し、1080度回転する間に1回転して元に戻ることになる。



■11■内サイクロイドとは定円に内接しながら、円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡のことを言う。下図はそれぞれ2重、3重、4重、5重対称性を有する内サイクロイドを示したものである。これとは逆に定円に外接しながら、円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡は外サイクロイドと言う。



■12■幾何学的形体に関しても数式で表現した方が分かり易い人もいるだろうから、アンビリック・トーラスは以下の媒介変数方程式のセット組によって定義されるということを老婆心で付け加えておく。見れば分かる人(見ても分からない人も不本意ながら含まれるが)には、さらなる数式的理解は不要かも知れない。

   x=sin u[7+cos(u/3−2v)+2cos(u/3+v)]
   y=cos u[7+cos(u/3−2v)+2cos(u/3+v)]
   z=sin(u/3−2v)+2sin(u/3+v)

■13■数学好きな人であれば、400年の難問と言われていた「ケプラー予想」が、コンピュータを駆使したミシガン大学の数学者トマス・ヘイルズにより、1998年に証明されたことはご存じだろう。この偉業を助けた人物にサミュエル・ファーガソンという数学者がいるのだが、その父親がこの作品製作者のヒラマン・ファーガソンだ。

)「ケプラー予想」とは、球を敷き詰めたとき面心立方格子が最密になるというものだ。正則の敷き詰め方に関してはガウスが早々に証明したが、不規則な敷き詰め方に関しては、400年間未解決の問題だった。

■14■彼は彫刻家であるだけでなく、数学の博士号を有する研究者でもあり、実際に17年に渡って大学で教鞭も取っていた。彼は緻密な数学的概念をエレガンスに3次元の芸術作品とすることにより、数学の美しさに物理的表現を与えているのである。ところでこのヒラマンというファーストネームはかなり珍しい。



■15■モルモン書に登場する人名には聖書に登場する名前を変化させたり合体させたりしたものが多数あるという。ヒラマン(Helaman)もその1つで、ヒラム(Helam)【サムエル下10:17】とハラン(Haran)【創世記11:26】を割って足したものだという解釈がある(Helm+an)。彼もモルモン教徒と関係があるのだろうか。

------翻訳memo----------------------
parametric equation 媒介変数方程式
tori torusの複数形.
trefoil knots 三葉結び目










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