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サークルゲノム



■図のように1つの単位円を描き、その中に直径比1/2の円を2つはめ込んだ時、その上下の隙間には直径比1/3の円がぴったりはまり込む。この直径比1/1:1/2:1/3の円の中心を結ぶと、赤線で示したように辺長比が3:4:5のピュタゴラスの直角3角形が描かれる。この円のシンプルな組み合わせから様々な関係を取り出すことができる図の素型を「サークルゲノム」と呼ぶことにする。

■なお1/2の円と1/3の円の間の4つの隙間には、さらに直径比1/6の円がぴったりはまり込むが、この1/6の円はまた図中の辺長比が3:4:5のピュタゴラスの直角3角形の中にもぴったり内接する。またさらにこの後も順次新しくできる隙間に円は収まっていく。一般に半径比1/2の円を1番目として、n番目に内接する円の総数rは、r=1/{2+(n−1)^2}という式で求めることができる。 

■ちなみに20番目の円の直径は、大円の直径の1/363となる。つまりこの大円の直径の上に20番目の円が363個並ぶということである。これに最初の大円も1つとして足すと、全てで364個になる。なおこの3種類の円が内接外接するサークルゲノムの、半径1/3の円の接点から図のように垂線を引き、そして大円と交差した点と大円の中心点を結ぶと、正4面体の中心角である109.5度(1)が描ける。

■この角度は三角関数のarccos(-1/3)でも求められるが、そのような計算をせず、かつ分度器も用いずに、コンパスと定規だけでこの作図は可能である。(201)節でも見たメタンCH4の中心にある炭素原子と4つの正4面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度もこの109.5度である。さらにこの補角(和すると平角180度になる角度)の70.5度(1)は、正4面体の2面角、正6面体の中心角でもある。
  
………………………………………………………………………………

1)より正確には109度28分16. 394…秒である。またこの角度は正8面体の2面角でもある。そして正4面体の2面角のより詳しい値は、70度31分606…秒である。














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  • 2020.02.13 Thursday
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