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3角定規で惑星グリッドを


■1■「45度・45度・90度」と、「30度・60度・90度」の2種類の3角定規。昔からよく見慣れたつもりでいる文房具だ。2つの組み合わせで15度刻みの様々な角度が作れるのは知っていたけれど、今日ちょっとだけ見なおした。去年綿棒で作った惑星グリッドの形状認識に流用可能ではないかと考えたのだ。

■2■惑星グリッドは同じ1種類の直角3角形120枚から構成されているUVG120という立体なんだけれど、以前説明したようにその直角3角形を4枚組み合わせることで出来る、対角線の長さの比が1:φになっている菱形が30面からなる「菱形30面体」が球面上に拡張したものと同型対応視が可能である。

■3■同様に共に球面上への展開だが、図のように6枚を60度の頂点で集めて組み合わせた、大きな正3角形が全部で20面からなる正20面体と同型対応することができるし、さらに10枚を組み合わせた60度の頂点で集めて組み合わせた、大きな正5角形が全部で12枚から正12面体とも同型対応することができる。



■4■ときに綿棒で60+60+60+60=240本で4重構造に作った菱形30面体的な惑星グリットをつくることができるのだが、この対角線が1:φの菱形の代わりに、正3角形を2つくっつけた菱形を30枚用いて、対角線が1:√3の菱形で、疑似惑星グリッドを作ることもできた。2つ並べ見た事を想起しよう。

■5■最初に示した3角定規のうち、「30度・60度・90度」の3角定規、すなわち辺長比が1:2:√3の直角3角形の定規を120枚用いても、疑似惑星グリッドを作ることができるのではないかと今日気がついたのだ。綿棒多面体は綿部分を押したり引っ張ったりして帳尻を合わせれば惑星グリッドが作れた。

■6■硬い定規は融通が利かないが、それでも120枚を上手く上下に歪めたりしながら、接続部分でずれを吸収できるかもしれない。この疑似惑星グリッドの菱形は対角線の比が1:√3=1:1.732…だが、正確な惑星グリッドの菱形は対角線比が1:φ=1:1.6I8…だから、誤差は0.11程度ということだ。



■7■まあしかしたとえ100円ショップに行っても、現実的には片方の直角3角形の定規ばかりを120点買い集めるというわけにもいかないけれど。ただし正3角形が2つからなるこの菱形は、中心に直角を4つ集めた対角線にしなくても良いということがわかる。図のように正3角形を回転させても良いのだ。

■8■なお多面体としての惑星グリッドまたはUVG12は、立体幾何学的に「6方20面体」というちょっと味気ない名前が付けられている。この立体と互いに面点変換ができる双対立体は、「斜方切頭20・12面体」である。この5重対称性を持つ立体も、中心から綿棒を組み合わせて多面体として制作が可能だ。













 

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  • 2020.07.01 Wednesday
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