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1つの中身は2つ…?



■フィボナッチ数列は「初項1、第2項1で、第3項以降は前2項の和とする」という、非常にシンプルなルールから諸物を非常に豊穣かつ精緻に展開する。ところでがフィボナッチが提示したこの問題の、初項と第2項に示される「1」という最小数の単位は「兎のつがい」だが兎とすると「2」だ。

■フィボナッチの考案した問題は次のようなものだ。「つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。兎が死ぬことはない。この条件のもとで、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか?」1つがいで生むとか、死なないととかの無理設定も仮定の問題設定である。



■「1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…」これはつがいの数だが、兎の数だとすると倍の「2,2,4,6,10,16,42,68,110,178,288…」となる。初項2、第2項2という設定だが、これも隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比φに収束する。初項と第2項は、別に1である必要はない。

■ところで「第3項以降は前2項の和とする」というのルールはそのまま保持しつつ、最初の2項を2、1に置き換えた数列の項をリュカ数という。「2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199…」と連なる。これも隣り合う数の比は黄金比φに収束する。第2項の数を他の数に入れ替えてみよう。

   <1> <2> <3> <4> <5> <6> <7> <8>
(0)  1,0,1,1,2,3,5,8…
(1)  1,1,2,3,5,8,13,21…
(2)  1,2,3,5,8,13,21,34…
(3)  1,3,4,7,11,18,29,47…
(4)  1,4,5,9,14,23,37,60…
(5)  1,5,6,11,17,28,45,73…
(6)  1,6,7,13,20,33,53,86…
(7)  1,7,8,15,23,38,61,99…
(8)  1,8,9,17,26,43,69,112…
(9)  1,9,10,19,29,48,77,125…
(10)  1,10,11,21,32,53,85,138…
(11) 1,11,12,23,35,58,93,151…
(12) 1,12,13,25,38,63,101,164…
(13) 1,13,14,27,41,68,108, 176…


■上表で、最上段の<n>は第何項かを示し、左端列の(n)は第2項に入れた数に等しい。第1項は全て1である。これだけでツッコミどころ満載なのだが、全て語るわけにはいかないので少しだけ言及しよう。数列(1)はフィボナッチ数列である。数列(0)と(2)は、それより2項分右、及び左に1項分ずれたものだ。

■(3)はリュカ数の初項2を取り去った数列に等しい。以降数列は横に展開するが、全体的に見ると、縦の各項に共通の性質が見えてくる。第2項と第3項は一つずれているが、1ずつ加算されている。第4項、第5項、第6項、第7項…は2、3、5、8…ずつ加算されている。1列ずれたフイボナッチ数列だ。



■見どころは多々あるが、ここでは(5)の数列つまり初項1、第2項が5の数列を見ていこう。「1,5,6,11,17,28,45,73,118,191,309,500,809,1309…。」ここで最初に述べた兎のつがいを思い出して倍にすると「2,10,12,22,34,56,90,146,236,382,618,1000,1618,2618…」となる。

■実はこの倍にした数列は「フュンク・ウレの数列」という名前がある。第12項を中心として、その先の項は1618、2618…となり、その前に戻ると618、382…となっている。つまり黄金比φの累乗もしくはその逆数の小数点以下3桁までの1000倍になっているのである。上表には他にも興味ある数が潜んでいる。












 

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  • 2019.05.14 Tuesday
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