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変形12面体とその内部



■1■アルキメデス立体の1つ変形12面体を綿棒で作ってみた。プラトン立体は全部で5種類だが、アルキメデス立体は全部で13種類ある。普通はその中の13番目、つまり一番最後にエントリーされる立体だ。最初から1つずつ見て行くのが筋だが、太陽系を外側から見るようにまずはこの大物から見てみたい。



■2■面は正3角形80枚と正5角形12枚の和で92となる。立体が捩れているので正3角形の数は数え難そうだが、正12面体の30本の線に2個ずつの正3角形が、20個の頂点には1個の正3角形が対応していると捉えれば分かりやすい。また線は150、頂点は60で、各頂点に正3角形4枚と正5角形1枚が集まる。



■3■正5角形12面からなる正12面体を綿棒で作ると、安定せずにぐにゃぐにゃに歪んでしまうが、この変形12面体は正12面体の線に当たる部分が正3角形~なるので、補強なしでも自立すると思い、綿棒150本だけで作ってみた。接続部分の不均一さや重力により僅かには歪むが、思った通りちゃんと自立した。



■4■ところでこの内部にさらに綿棒で立体を入れるとしたら、それは一体どんな立体となるのだろう?実際に作ってみた。先ず正5角形面が内向きの正5角錐になるよう30本で補強した。その中に60本を用いて大星型12面体を入れてみたら、大星型12面体の12の頂点は正5角錐の12の頂点とぴったり接合した。



■5■最初の変形12面体で綿棒が150本、変形12面体形の補強用に30本、内接する大星型12面体が60本で、合計240本を使用したことになる。変形12面体はアルキメデス立体の中で最も球体に近い立体である。変形12面体については沢山言いたいことがる。いやアルキメデス立体に対してもいろいろ見て行こう。
 
■6■とは言ったものの、麺棒多面体の立体感覚が分からないかも知れないので、老婆心から動画を一つ上げておくことにします。39秒あります。画像はHDで見た方が細部が分かりやすいかと。














 

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  • 2020.07.01 Wednesday
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