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プラトン立体の面点変換過程のアルキメデス立体



■1■プラトン立体とアルキメデス立体の関係を文字づらばかりでとうとうと述べても、それを読む方の負荷はたまったもんじゃないので、画像で簡単にその関係性を示すことにしたい。
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■2■面点変換はある種の回転である。正6面体が直線的に正8面体になると考えるのではなく、その回転の途中の立体にアルキメデス立体が表れている。
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■3■「正6面体→正8面体」と、「正8面体→正6面体」の面点変換は表れる立体が逆になっている。これは「正12面体→正20面体」と「正20面体→正12面体」の関係でも同じてある。
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■4■ただし正4面体は面点変換しても逆向きの正4面体になり、もう1度面点変換してようやく元の向きの正4面体になるが、途中に現れる立体は正8面体と切頭4面体の繰り返しだ。
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■5■ここには13種あるアルキメデス立体のうち、7種が見て取れる。取り敢えず関係性を見てみよう。すでに変形12面体と斜方20・12面体も見ているので、残りはあと4種しかない。
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■6■1段目は正6面体が左から右へと削れて行き正8面体になるまでの中割り図だが、2段目は正8面体が右から左へと削れて正6面体になるまでの図だ。この2段は実は円環をなす。



■7■もう1つ、15年程前に作った正12面体−正20面体の系を面点変換の回転として表した図も。なお「加頭」というのは私の造語で、「加頭〇〇面体」というアルキメデス立体はない。














 

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  • 2020.07.01 Wednesday
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