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アルキメデス立体の俯瞰図(1)



■0■見れば分かるように構成してあるので、煩雑な文字解説は不要という人はただ見て下さい。老婆心で全体の作りを簡単に記しておいたので、興味のある人は文字列もご覧ください。老婆心って婆さんの方も結構疲れます(笑)。プラトン立体の5個はOKという人、今年はアルキメデス立体だよ。

■1■タイトル通りの「プラトン立体、アルキメデス立体、そしてその双対立体」の相関図だ。基本のプラトン立体の5つ「正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体」の色を、ドリームスペル仕様の「赤、白、青、黄、緑」にして見たけれど、白色が何気に地味なので紫色を当ててみた。

■2■アルキメデス立体の最初の5つは、プラトン立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体だ。削った部分だけ色を抜いておいた。次に画面右側に正6面体と正8面体を相貫させた共通部分のベクトル平衡体(立方8面体)、正6面体と正8面体を相貫させた共通部分の20・12面体の2つ。

■3■さらに右側に、その2つの立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体が、斜方切頂立方8面体と斜方切頂20・12面体の2つ。削った部分だけ色を抜いておいた。画面左側にめを転じよう。正6面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにすると、斜方立方8面体となる。

■4■同様に正8面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにしても、やはり斜方立方8面体となる。図では正6面体由来の正方形部分を同じ色にして置いた。正3角形部分のみを青で着色すると、正8面体側から切りだした立体を表すことになる。正6面体と正8面体双対関係が分かる。

■5■この斜方立方8面体の、正6面体の6面由来の正方形(図では紫に着色してある)に対して、元々線の部分だった正方形を2つの正3角形になるようにして線の長さを揃えると、少し捩れて変形立方体になる。正12面体と正20面体もま頂点と線部分を削って長さを揃えると斜方20・12面体となり、さらに同様の操作を加えることで、最も球体に近い変形12面体になる。

■6■なお画面上の色のついていない残る13個の立体は、アルキメデス立体の双対の立体である。立方8面体と双対の菱形12面体と、20・12面体と双対の菱形30面体は灰色で示してみた。また右下の斜方切頂六方20面体と双対の六方20面体は、惑星グリッドと呼びならわしている立体と同型である。














 

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  • 2020.07.01 Wednesday
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