<< 月・地球・太陽とマイルの整合性…太陽系トポロジー(02) | main | 多面体の面点変換とその総和角…太陽系トポロジー(04) >>

多面体の角の総和を整数比で見る…太陽系トポロジー(03)



■1■「多面体の各面の内角の総和」という表現をしたが、これはまた「多面体の表面の全ての角度の和」ということでもある。そして展開図を見ればわかるように、多面体には各頂点が平面から立ち上がるために周角360から切り取った角度(不足角)がある。全ての多面体の不足角の総和は720度である。



■2■プラトン立体を見直してみよう。正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体の表面の角度の和は、それぞれ720度、2160度、1440度、6480度、3600度である。これらの数値も色々な数を連想できるが、この5立体の表面角の総和は14400度であり、5立体の不足角の総和も足せば18000となる。

■3■シンプルに360度で割ればこの倍の2,6,4,18,10となるが、各立体の数値を不足角の総和720度で割ると、1,3,2,9,5と整数比で見て取れる。これだけの数の組合せのみで、1〜20までを生み出すことができる。5立体の不足角の720度を足して戻してみれば、2,4,3,18,10となる。



■4■次に13個のアルキメデス立体も同様に見てみよう。表面の角度の和は大きな数になるので、720度で割った数も合わせて見れば、図で示した通り3600(5)が2つ、7920(11)と28880(29)が4つずつある。そして10080(14)、16560(23)、42480(59)が1つだが、20・12面体の14以外はみな素数だ。



■5■さて13種のアルキメデス立体のそれぞれにもカタラン立体という13種双対立体がある。これらについても同様に表面の角度の総和を出してみた。こちらの方は3の倍数ばかりで、3,6,12が2個ずつ、15が3つ、そして18,30,45だ。これを2160で割ると、1,2,4,5,6,10,15という数になる。














 

スポンサーサイト

  • 2020.07.01 Wednesday
  • -
  • 23:00
  • -
  • -
  • by スポンサードリンク

コメント
コメントする









calendar
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
<< July 2020 >>
sponsored links
selected entries
categories
archives
recent comment
recommend
profile
search this site.
others
mobile
qrcode
powered
無料ブログ作成サービス JUGEM