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正4面体から切頭4面体を切り出す

           

         回転する切頭4面体 ウィキペディア(Wikipedia)より借用して加工

■ここのところずっとコメントしずらいであろう多面体日記を書いているが、先日スペイン在住の方からコメントをいただいた。その方が過日スペイン人の数学者とお話をしたおりに、幾何学の専門用語がたくさん出てきて、その時「カタランの立体」というものも話題に上がったそうだ。カタランの立体とは13種ある準正多面体(アルキメデス立体)の相対立体のことで、その面点変換することで入れ替わるペアだからカタランの立体も13種ある。

■このCathalanという数学者はベルギー人なのだが、カタランというのはカタルーニャ人という意味もあるそうなので、ひょっとしたら先祖はカタルーニャ州出身なのかも知れない。ところでそのカタルーニャはスペインの準州で、州都がバルセロナだ。アントニ・ガウディのサグラダ・ファミリア教会や、カンプ・ノウがホームスタジアムのサッカーチームFCバルセロナなど種々思い入れがあるが、何よりコメントをくださった方の旦那さん()がバルセロナ在住なのだった。




■さて13種のカタランの立体を見る前に、その双対立体であるアルキメデス立体から着手しなくてはならないのだが、その中で一番シンプルなものが切頭4面体だ。正多面体(プラトン立体)の中で一番シンプルなのは正4面体だが、切頭4面体はその名前の通り正4面体の4つの頂点部分を切り取った形をしている。切り取る部分は正3角形の辺の1/3の部分より先で、その結果点は12、線が18、面が8(正6角形4面+正3角形4面)の立体になる。

■図でも分かるとおり、線(稜)が3本で正3角形を作り、6本でその6倍の面積の正6角形を作っている。正多面体でないので2面角は2種類あり、正6角形同士が作る角度が70度31分44秒で、正3角形と正6角形が作る角度が109度28分16秒だ。この2つの2面角の和はぴったり180度の平角となる。1辺を1とすると正6角形4面に内接する球の半径は0.6124であり、正3角形4面に内接する球の半径は1.0207となり、その比は黄金比に近似している。




■なお中心角は50度28分である。なお中接球半径は1.0607、外接球半径は1.1726である。中接球半径/正6角形の内接球半径は√3(=1.7320)となる。正4面体の辺の1/3より先の部分を切り取った形と表現したが、この切り取った小さな正4面体の体積は、最初の正4面体を内側に面点変換した小さな正4面体と等しく1/27である。したがって切り出す前の正4面体と切頭4面体の体積比は27:23ということになる。足せばちょうど50である。

■正6面体と外接球を共有する正4面体から切頭4面体を切り出したとすると、その体積は最初の正6面体の体積の5/27ということになる。

)有名なスペインのフラメンコ・ギタリスト、カニサレス氏。
http://www.jmcanizares.com/jp/biografia.php


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  • 2019.07.03 Wednesday
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コメント
あっ!バリオン(スピン1/2)と同じ形だ!
  • ねじ
  • 2009/02/24 5:42 AM
クォーク、素粒子レベルはまだまだ先にならなければ研究する余地ができませんので、バリオンに関してはしっかりした科学的知識と共に今後色々教えてください。
  • とーらす
  • 2009/02/24 5:52 PM
教えるなんて、とんでもないです(苦笑)
ただ、物理科学的な本を絵本のように眺めてるだけでして…本にアップ・ダウン・ストレンジクォークの三種類にチャーム・クォークを追加すると立体模型が出来るそうです。バリオン(スピン=1/2)はこの形で、バリオン(スピン=3/2)は切り落とさない形です。メソン(スピン=0)とメソン(スピン=1)は「シリウス革命」のP416に書かれている形です。詳しくは解りませんがトップとボトムは図に起こせてないと思います。中間子の反応の関係でこの模型は考えられたようで、トップクォークは中間子無し、ボトムクォークはCP対称性の関係が解明されてないから書けない。最初の三つは平面的に書ける。ボーリングのテンピン配置が十重項、そこから角の3ピンを一度抜いて1ピンだけ真ん中にくっつけて配置したのが八重項です。

書いてみるとちょっと理解が深まりました(笑)感謝

ねじ的ですがクォークは仏教の六道(地獄界、餓鬼界…)とかに似てます。物に捕らわれた世界だと思います。調整期は阿修羅さまが睨みきかしているから対称性がわからない。でも、覚醒期に入ると対称性が見えると思います。
  • ねじ
  • 2009/02/25 12:53 AM
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