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正9角形と太った9芒星



     (1) 正9角形 1/9
     (2) 9芒星 2/9   7/9はリバース 太った9芒星
     (3) 9芒星 3/9   6/9はリバース 3重の正3角形
     (4) 9芒星 4/9   5/9はリバース 尖った9芒星
     (5) すべての線が含まれている図形。線の総本数は8の3角数でもある36。
     (6) 9芒星 (2)+(3)の形状。エニアグラムを内包する。
     (7) エニアグラム


■先日ECCOの事務所で興味ある図形を見た。色付けや装飾が施されていたが、その基本は上に示した図形のうち上段左から2番目の「太った9芒星」だった。上の図でカッコの中に示してある数字(n/9)は、円の上にある9等分点を何個飛びでつないだ図形かを示すものである。1つずつつなぐと上段左のように正9角形になる。問題の「太った9芒星」は1つ飛ばしでつないだ形であり、以下2つ飛ばし、3つ飛ばしの9芒星である。

■図で示したとおり、(3/9)で表した図形は3つの正3角形を40度ずつずらした形状の9芒星である。2つの正3角形を60度ずつずらした形は6芒星であり、4つを30度ずつずらしたものは12芒星である。また(4/9)で表される形は尖った9芒星である。ちなみに5つ置きに結ぶ形は(4/9)の、6つ置きは(3/9)の、7つ置きは(2/9)の、8つ置きは(1/9)の、それぞれ逆向きにつながれて描かれる同じ形である。

■またこれは余談だが、上図下段に示したように(2/9)と(3/9)を重ねて描くと、その中にグルジェフが表したエニアグラムの形が内包されることが分かる。下段中央の図は平面なのだが、なにやら5芒星が重なり合う立体の透過図のようにも見える。なおこの9つの点を全てつなぐと上図下段左の図のようになり、その全ての関係線の数は36となる。それではぱっと見だと正5角形が重なっ多様に見える「太った9芒星」について考えることにしよう。



■n芒星というものは基本的にnが5以上の自然数なら全て成り立つ。nが4だったら正方形となり、1つ飛びに結ぼうとすると対角線になって星にはならない。正多角形の頂点をいくつごとに結ぶかによって、その数の回数だけ中心に対して回転して完成する。n角形なら全て1つずつなので1周で完成する。5芒星ならば2つずつなので2周で星型が完成する。なお正3角形が2つの6芒星のようにずれて重なるものも、完成へ至る周回数は同様である。

■さて円周を9等分した点を1つ置きにつないでできる「太った9芒星」だが、上図左に示したようにぱっと見では正5角形を逆向きに組み合わせた形に良く似ている。シンプルに10等分した円周を1つ置きにつないだ正5角形(及び位相を36度ずらした正5角形)と比較すれば、中心角が36度から40度へ、そして円周上の頂点が作る角度は108度から100度へと変わっているのだが、わずか4度(及び倍の8度)の差は瞬時には区別しにくいのである。

■この太った9芒星が中心点との関係で作るいくつかの2等辺3角形とその角度を上図右に示してみた。この9芒星は(2/9)で表現したが、正9角形には他にも(3/9)と表現した位相が40度ずつずれた3つの正3角形の9芒星や、(4/9)と表現した「尖った9芒星」、さらには諸概念を内包するエニアグラム図形も内包されているわけだから、それを見た者やイメージした者にとってはパワフルであるという表現をしても間違いはないだろう。



■先験的なものとして帯与されている様々な意味や象徴をはずし、数そのものを純粋に見ることの必要性と同様に、この諸形状を内包する正9角形を、諸概念をパイルしたエニアグラムなどの形状としてのみ捉えるだけではなく、純粋な形として実際に描いてみるなり頭の中で正確にトレースするなりしてみるだけでも、視覚的に受け取るもの(もしくは自らの中で想起されるもの)はあるに違いない。

■2サイクルで1つの図形を描く、2回回転して対称性性を取り戻すというスピン1/2や、プラトン立体の内側への面点変換において、正6面体→正8面体では体積比が6:1なのに対し、正8面体→正6面体では体積比が9:2となること、そしてその正6面体→正8面体→正6面体の一巡りで体積比が27:1(すなわち3^3:1)となり、この3次元空間における自己反転(正4面体の面点変換は1回で27:1)とも、なんらかの関係があるように思われる。

■この図形に関しては今後さらによく見ていく必要があるだろう。


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  • 2019.07.03 Wednesday
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  • 12:44
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コメント
3年前に青森旅日記にコメントしたものです。
お久しぶりです。今回はひとつ質問があり書き込みます。
グルジェフの一覧表を見て思いついたんですが
五芒星を24度づつズラして、3つ重ねると15芒星?が出来ますが、
これの外接円と内側の円は黄金比の関係になるんでしょうか?
作図するとそんな感じなんですが、もしも単なる近似値で計算上は違う比率なら、
黄金比の二重円を一番簡潔に表せる幾何学形ってどんなものなんでしょうか?
ひとつと言いつつふたつ質問してしまいましたが(笑)
よろしくお願いいたします。
  • EQUALJAPAN
  • 2015/04/15 7:54 PM
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