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  • 2024.01.09 Tuesday
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数の繰り言003…多面体・炭素・12−60



■1■ 炭素13(1.07%)から1個の中性子が飛び出すと炭素12(98.93%)となるが、この炭素原子核の理想的な構造モデルとして、炭素13原子核をベクトル平衡体とすると、中性子が1個抜けた後の炭素12原子核が最も安定する構造として正20面体になるのではなかろうか。理想的形状の話だが。

■2■ 正4面体と炭素の結合角(腕同士で作る角度)は109.5度が最も安定する。例えばメタン(CH_4)分子の重心にある炭素の4本の腕は、この正4面体をなす角度に突き出て4つの水素と結合している。これはこの炭素と結合する4つの水素原子の位置が正4面体の4頂点の位置にあると言うことである。

■3■ 窒素族元素の1つ、原子番号15のリンには、白リン、黄リン、赤リン、紫リン、黒リンなどの同素体が存在する。リン原子4つからなる白リン・黄リン(P_4)の分子は相互に伸びた結合腕によって正4面体の構造を取る。リンは水素・炭素・窒素・酸素と共にDNAを構成する5つの元素だ。ただし白リンは猛毒である。

   

■4■ 炭素は腕が4本しかないので正20面体は作れないが、ホウ素にはドデカヒドロドデカホウ酸イオン(B12H122-)がこの骨格を持っている(上図右、表面についている水素原子は省略)。切頭20面体は点60、面32、線90からなる立体で、面角度は108度と120度であり、2面角は138度11分と142度37分である。

■5■ バックミンスター・フラーレンは60個の炭素、90本の炭素-炭素結合、30本の二重結合、20の6員環、12の5員環を持つ。全ての炭素が4本の結合の腕を出して結合しており、歪みが全体で吸収されるため安定な構造である。3次元空間では最も対称性が高く、純球を1に対して球形度1.0345と真球に近い。

■6■ また電気的偏りが少なく、1秒間に1億回転の高速スピンをしている。C60にカリウムなどの金属を混ぜると低温で超伝導性(電気抵抗が全くゼロになる現象)を示すこと分かった。さらにアーク放電の際に金属を混ぜると構造内部に金属原子を閉じ込めた内包フラーレンができることも分かった。


■7■ 立体幾何学的には切頭20面体形状。それにしてもこの絶妙にして堅固なフラーレンが、原子番号6(そして質量数はC12が98.93%、C13が1.07%)の炭素原子60個という数で安定する構造にも、現在のこの世界時空が12−60の構造と周期で安定しているということの一端を見る思いがする。


サークルゲノム上で正4面体の中心角を描く



■半径1の円を考えてみよう。この円の中に半径1/2の円を内接させると、自明のことだがぴったり2つ収まる。またこの半径1の円と半径1/2の円の隙間には、半径1/3の円が2つすっぽりと収まる。この上下2つの半径1/3の円の間には、半径1の円と中心を共有する3つ目の半径1/3の円が入る。さらに半径1と1/2と1/3の円の隙間には、半径1/6の小円が4つはまり込む。

■さてこの半径が1/1、1/2、1/3の3つの円の中心点を結ぶと、上図左に示したように辺長比が3:4:5の直角3角形ができる。また上図右はこれを部分拡大したものだ。背景の格子を見ればこの直角3角形にすっぽり内接する円は、直径2、半径1であることが分かるだろう。なおこの円は半径1と1/2と1/3の円の間にさらにはまり込んだ、4番目の半径1/6の小円と同じ大きさである。

■ここで最初の大円を半径1から半径6単位長と置き換えてみよう。すると直径12単位の円となり、上述の比率がそのまま単位長を保持して1:2:3:4:5となる。6,8,9を導き出すのもそう難しいことではない。ところで3種類の円の中心を結んでできた辺長比が3:4:5の直角3角形だが、その面積は6、3辺の和は12、積は60である。シンプルな図形からも12−60進法的発想が生じることが分かる。

           
■さてこのサークルゲノムと名が付いている、隙間に順次円を内接していく図形から、正4面体の中心角を描きだしてみよう。半径1/3の円(直径単位長4の円)の接点から、図のようにこの3つの小円を貫く線に対する垂線を引く。そして円と交差した点と大円の中心点を結ぶと、図のように正4面体の中心角09度28分16秒に相当する角度が描ける。このようにしてプラトン立体でも重要な角度は、三角数のarcos(-1/3)でも求められるが、計算をせず分度器も用いずに、コンパスと定規だけでこの作図できる。

■正8面体の2面角でもあるこの角度は、メタンの中心のある炭素原子と4つの正4面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度でもある。なお4番目に隙間に内接する小さな円の半径は1/6だったが、一般にこの後も順次隙間に円は収まりゆく。半径比1/2の円を1番目として、順次円の隙間に内接していく円の、n番目に内接する円の総数rは、r=1/{2+(n−1)^2}という式で求められる。

■ちなみに20番目の円の直径は、大円の直径の1/363となる。つまりこの大円の直径の上に20番目の円が363個並ぶということである。この大円も1つとして足すと、364個になる。この20進法のマヤ的な数理や28×13=364もしくは1年の52週の日数の364日をも連想させる。この他にもさまざまな数を見出していきたいが、今日はこれくらいにしておきたい。 オマケとして、このブログを書く元になったTwitterへの数の繰り言をオマケとして付け足しておく。

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■「地球暦/ヘリオコンパス」上で秋分の日からちょうど100度が元旦であることを発見した。今年の秋分の日も冬至も満月だったが、正月前に気付いてよかった。いやそもそもは109.5度に関して、改めて考えていた副産物なのだが、話のキモは、この角度の数値「109.5」と、太陽と地球との関係における2つの数値の相似なのである。太陽直径上に地球は約109.5個並び、また地球と太陽の間の距離(特に遠日点距離)には、太陽が約109.5個並ぶ距離であるということだ。

■太陽の直径は1392000kmであり、地球の直径は12742kmである。したがって単純計算では太陽の直径上に地球が109.245個並ぶということだ。また地球の平均公転半径、つまり1AU(天文単位)は 149,597,870 kmだが、遠日点距離は152141033.8km (=1.017 AU)で、この地球−太陽間の最大距離には太陽が109.2967個並ぶ。この地球と太陽の関係に見る2つの数値は、正4面体の中心角109.5度を想起させる。

■正4面体の中心角は直角90度に19.5度を加えた109.5度であり、同じく正4面体の2面角は直角から19.5度引いた70.5度である。この2つの角度はあるプラトン立体の、いや多面体そのものの基本中の基本の角度である。バレーのスパイクやサッカーのキックや陸上選手の走りなど、人間の身体や四肢の動作を始める直前の力を溜める角度もまたこの角度に近い。果たして何らかの関係があるのであろうか。


数の繰り言:002



        ■月と地球と太陽と■

■1■ 1の双対としての11と3。地球と月の直径比はほぼぴったり11:3である。12朔望周期は354日で365日には11日足りない。太陽太陰暦ではこの11日を3年まとめてもう1か月として13か月目を挿入する。また次元数としての1つの括りは11+3=14で表される。

■2■ 14の双対で28の月相として表れている。もちろん28×13=364で1足す余地がある。なお地球の8年に金星は13回公転・12回自転して、5回地球と会合するが、この期間は11×3=33のさらに3倍の99である。イスラム教では神が持つ99の名前の数として大切にする。

■3■ 18と19は共に碁盤のマス目と線の数の1次元的数として解される。この2乗は324と361だが、360+1は2の2乗と共に365を作る。古代エジプトではこの18と19という2すうの交差を重要視していた。実はマヤの絵画や幾何学にもこの18×19は見て取れる。

■4■ さて11と3に戻ると、ここにようやく4が要請される。すなわち11−4=7、3+4=7として、直交していて見えない7が見えてくる。月の4相やオクターブの7音や冬至と夏至、夏至と冬至の日にちの差も7日であるが、1週間区切りの7という人間の無意識サイクルの顕現だ。

■5■ 2592から200引いた2392日は8×13×23だが、この期間は実は3の4乗かつ9の2乗の81朔望周期日でもある。古代人の一部はこれらを教養として知っていた。12で個の世界は閉じているから12は呪縛と感じられるが、超えゆく者には祝福以外の何物でもない。

■6■ 11+3。これは地球と月の関係だ。ここに太陽が入ってくると太陽:地球:月の大きさの比は10000:366:100となる。何とも分かりやすい数である。なお3天体の周長には「月×地球÷100=太陽」という式が成り立つ。99.99%以上の精度である。シンプルが何より。 


数の繰り言:001



   ■手のペンターブと足のペンターブ■

■1■ 人間の手のひらの5指は親指が他の4本の指と直角方向についているので、他の4指をひとくくりにして1つの握りこぶしにすることができる。ものを握り道具を操り、大おきな数を数える時に5を1つ上の1とする最古の計算器である。

■2■ 人間の足の5指は親指も含めて皆平行についている。歩き走ることに特化した指であり、ものを掴むことには適していない。既にある1の内部に既に5が揃っているが、4を括る最後の1も他の4と等価として見る視座と対比できる。

■3■ 手のペンターブシステムと足のペンターブシステム。もしくはマクロ方向のペンターブシステムとミクロ方向のペンターブシステムである。この双方から改めてオクターブ、2進法、10進法、12進法、20進法が組み立てられる。5と6は10進法の2つの要である。

■4■ このミクロ方向とマクロ方向の2つのペンターブシステムを共に見る視座こそが、人間として両掌を左右の手としてに見る個々人の世界を見る位置である。両手のカイラリティの背後にミクロとマクロ双方向の対称性としてのケプラーの星型8面体を見ること。



   ■フィボナッチ数列の3つの窓■

■1■ ピュタゴラス音階は5度つまりCに対するG音から中国の3分損益法的に音律を構築していく。オクターブの全音階は7音である。第8音が倍音としてのオクターブだ。半音階は全部で12音である。第13音がオクターブである。人間の音楽的調和感覚である。

■2■ 地球と金星が5回会合する間に、地球は8公転し、金星では13公転する。

■3■ プラトン立体は全部で5種類であり、凸デルタ多面体は8種類であり、アルキメデス立体は13種類存在する。

■4■ 日本語は5つの母音と、8つの父音と、13の子音からにる100の発音可能な音素からなる。(撥音・長音・促音つまり<っ、−、ん>を入れると103である。)

■5■ 日本語の数詞は「ひ、ふ、み、よ、い、む、な、や、こ、と、も、ち、よろず」という13の数詞から5桁・1万までの数を数える。1〜9のうちの8つは360度を割り切るが名無し数7だけが360度を割り切れない。

■6■ フィボナッチ数列の第5項は5、第6項は8、第7項は13である。私はこれをフィボナッチ数列の3つの窓と呼んでいる。1,2,3を3,4,5に面点変換したものをさらに5,6,7とするところだ。ここからさらに7,8,9として10進法が閉じる。

■7■ 3角数の第8項36と4角数の第8項64の和は100である。フィボナッチ数列の第10項と3角数の第10項は共に55で等しい。フィボナッチ数列の第12項と3角数の第12項は共に144で等しい。

■8■ 私たちの10進法は0、1、φ、e、πという5つの特別な数と2,3,4,5,6,7,8,9という8つの特殊な数からなる13の要素を中心に巡っている。5−8−13の3つの窓から見える様々な数の光景は同じものの異なる有りようとしても捉えること。
 


■後拾遺集…3.3行日記



■無限遠は5つ。全ての光線が無限の未来へ向かう光的無限遠、同じく全ての光線が来た過去の無限遠。光速未満の全ての粒子が向かう時間的無限遠、同じくそれらの過去の無限遠。そして光線と光速未満で運動する粒子が入れない光速的無限遠。タキオン領域。無限遠とは人間的思考の限界に過ぎない。

■思考すること。人間の脳は未使用の部分が多すぎる。生存と生活に割く機械的配列の中の順列組み合わせ的反応に専心するように強いているのは、人間自身の傾向性に過ぎないのか、それとも何らかの外的要因が方向付けしているのであろうか。思考に必要なのは人間としての純粋さと持続力である。

■1と2の堂々巡りから3が見出されるとその背後に4は同時についてくる。3と4を平面的な対にしか見られないと3角形と4角形の違いにしか見えず、1と2にに落ち込んでしまう。4を正4面体に立ち上げること。3+4=7。3×4=12。7×12=84。天王星の公転周期は84年。良くできてる。

■3:4:5のピュタゴラスの直角3角形。この10年の間、いやTVができてからずっと、この縦横比3:4のモニターに対角線の5も含めて見続けてきた。3+4+5=12、3×4×5=60。12−60進法は土木連合、すなわち土星と木星のテリトリー内だった。2010年は既にはみ出している。

■水星・金星・地球・火星という4つの地球型惑星と、木星・土星・天王星・海王星という木星型惑星をつなぐ5たるアステロイドベルト。地球から見た水星・金星・火星の公転周期の和が1000日なのはもはや驚くに値しない。28×3=84。14×6=84。ぴったり260×4朔望周期の84年。

■8+9=17。塩素。ベクトル平衡体。正17角形を定規とコンパスで作図することはできる。8×9=72。72×5=360。閉じ込められないようにトートが+1を5回。73×5=365。天王星…ウラニウム原子番号92から1を引いて91。91×4=364。だが1が足りなくなる13×28。


■後拾遺集…三行日記



■どんなに優れた専門家でも、そのほとんどの人は自らの専門分野の進歩について行くのに精いっぱいで、他のジャンルで何が起こっているかを積極的に知ろうとしても、物理的な時間の余裕がないのだ。「せまく深く」か「広く浅く」かという現実的と称される2択に疑問を持たねばならないだろう。

■完璧な作品を作る方法と言うものがある。「先ず自らを完璧にして、それから自在に作品を作ればよい」というものだ。方法としては間違っていない。ただ完璧という言葉に囚われると、単なるパラドクスか矛盾表現としてしか見られなくなる。「完璧」や「無限」はまず最初はだけにでも単なる言葉だ。

■半歩進んでみよう。「広く深く」も「狭く浅く」も想定としてはあり得るし、現実的には4値的に最後に来る「狭く浅く」が多くの人の世界に対する生存戦略となっているのが現実ではなかろうか。そして「狭く深く」か「広く浅く」も加えたこの4つの選択肢の外に完璧と無作為とがある。

■完璧と無作為とは対極のようだが、重なっている。そもそも私たちが今こうして呼吸しものを見て世界認識していること自体が完璧であると言うのに、何も能動的に「生」に関与していないでも自動的に生きていられることがそもそも無作為でもある。専門家は究極の反転をしてようやく「ヒトもどき」だ。

■お椀の形は女性のおっぱいの形を象徴し、それを持った時に母親の温かく落ち着く記憶をも引き出すらしいぞ。おおっと身を乗り出した私だが、お椀がメタ象徴するのは母親であってセクシーな女の子ではないんだな。ちょっと残念。そっちへ連想するのは妄想。だってそればかり思っていたら飯進まないし。

■言い出しっぺの語源が、おならをした当人がバレないように最初に「臭い」と言い出す「言い出し屁」だって知らなかった。後に潔白を最初に主張し始めた人が犯人であることの意味になった。今では若い女の子にも「言い出しっぺの君が最初にやってよ」なんて使っているけれど、まあ言葉は生き物やね。 


ジャイアントキリング



■クラブW杯準決勝のうちの1試合「南米王者・ブラジルのインテルナシオナルvsアフリカ王者・コンゴ民主共和国のマゼンベ」が今日の早朝行われた。中東UAEはアブダビのモハメド・ビン・ザイードで行われていたので、日本人には注目度の低い試合だったが、結果はマゼンベが2−0でインテルナシオナルに勝利した。この大会のルーツはトヨタカップだった。

■トヨタカップは南米×ヨーロッパの最終的勝者を決める世界一決定戦だったのだが、過去にどちらのホームにしてももう1チームにしては命にかかわりかねないアウェーとなってしまったので、トヨタ主催でヨーロッパと南米の中立的スタンスにある日本で行われていた大会だった。近年はアジア・アフリカ・北米・オセアニアなどのトップチームを集めて、真の世界1を決定する大会しなっていた。

■ここのところ諸事情から中東で行われているが、再来年からはまた日本で行われる予定である。去年までは、いや昨日までは、何だかんだ言っても結局はそもそものルーツ通りに、決勝はいつも南米王者vs欧州王者の構造で変わらないと多くの人が思っていただろう。しかし今年その流れが初めて断ち切れたわけである。決勝の1枠が初めてフウリカ大陸王者クラブとなった記念すべき年である。



■今年は個人的にもサッカーシーンには予想外のことばかりだった。3戦全敗を疑わなかったワールドカップでの日本のベスト16入り。名古屋グランパスのJリーグ創立以来の初優勝。中国広州で行われた第16回アジア競技大会での男女アベック優勝。香川のブンデスリーガでの活躍からヴィッセル神戸の奇跡的J1残留など取り上げれば切りがないけれど、このマゼンベ勝利も確実にそのひとつである。

■ジャイアントキリング。圧倒的な力量の差があるチームでアップセットを起こすことだ。サッカーでは100%の勝利はない。世界のサッカーの勢力図が変わりゆく予兆なのか。第一歩として後に顧みられるかもしれない出来事である。波乱が起こらなければ南米のインテルと欧州のインテルの決勝となると多くの人が思っていた通りになるはずだったのだが。

■今日これからもう1試合の準決勝「アジア王者・韓国の城南一和天馬VS欧州王者・イタリアのインテルがある。こちらも今までならまあ問題なく韓国は善戦していい試合をするかどうかに興味が行っていたはずだが、こちらもひょっとして?が有り得ると思ってもいいのだと考えさせるくらい、マゼンベ勝利は歴史的な出来事なのだ。



■何が起きても驚かないくらい混沌として未知があちこちに顔を見せ始めていると行ってもいい時代であるということも含めて、あえて私が騒いでいるのは、今年Jリーグで初優勝した地元の名古屋グランパスが来年はアジアチャンピオンズカップに出場するので、そこで優勝してクラブW杯に出場し、世界一になるということも可能性としてはゼロではないという夢と希望がさらに活性化したからである。

■ジャイアントキリング。グランパスにとってのジャイアントはまだ世界中に数多く跋扈している。マゼンベがさらに決勝でどう戦うか、またその前に今日これから韓国の城南一和天馬がインテルミラノにどう戦うか。サッカーを好きでよかった。そして日本と言う比較的穏やかで汚くないサッカー世界に存在すること自体にも至福を感じる。勝ち負けもまたゲーム。生のゲームを精いっぱい生きるべし。


シンクロニヒキー

■PCモニターが暗くなってしまって使えなくなったので、しばらくその場しのぎではるか昔使っていたブラウン管モニターを繋いでいた。けっこう画素多くて綺麗だった。しかしやはりケツが大きくて重いのでついに新PCモニター導入。画面が広いと解像度を上げて、複数画面を無理なく操作できるので楽なり。そのモニター上で猫画像いじる朝。 



■上の画像は昨日のシンクロニヒキー。 最近はよく対称性を見せてくれる。



■こちらは今朝の対称性画像。シンクロニヒキーと言うよりシンメトリヒキーと言うべきか。左右対称性を有する視座から左にわずかに回転してのショット。見ようによっては捕えられて手足を縛られたタヌキとウサギにも見える。



■ストーブの位置と一直線になっていないところが、みかんにも熱が来る位置関係である。というか、みかんは前足がずれてニャフニャフ…と動いてしまった。



■そして最後の1枚はオリジナルではなく、海外の猫サイトから借用してきたもの。この画像のタイトルは「ハートマークキャット」。猫も凄いけれど、撮る方も凄い。世の中に猫がいて良かったと思う寒い朝である。…おっと、これは余興。成すべきことはこれから成すなり。

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■オマケ画像というべきか、情報と言うべきか。この最後の画像が現在の製作環境。寒いのでPCとモニターだけを窓辺に移動したのだけれど、さっそく猫による専有面積かくのごとし。ときどき勝手にキーボードの上を歩いて謎文字打ち込むし。ふーっ、…まあいいか。

猫々日記:窓辺にて

 


■猫は本当によく寝ます。手を突っ張ってうう〜んんってしてたかと思ったら、もう次の瞬間は寝てた。



■猫々ポスターシリーズ。暖かいので窓辺に置いて使っているPCの上に2匹して陣取って、何やら瞑想を始めました。デルピーの顔が何か昔のウォークマン聞いている猿のように妙に哲学っぽかったので、ひとつこしらえてみました。本当はPCの上にいられるととてもジャマなんですけれどね…。



■やられているのは愚妻の手です。ちょっと力を抜き始めているけれど、顔の上で前足を十字にしてぐぐ〜っとする猫独特のポーズは、あれは何なのでしょうね。…で、またそのまま寝るので、挟まれた手は置き去りのままです。抜くのもかわいそうだし、抜かないまま立ちつくすのも間抜けだし…。



■しかし本当に猫はふにゃふにゃです。おなかのあたりを片手で持ち上げようとすると、スライムのように垂れさがって、2つにちぎれちゃうのではと思うほど。デルピエ郎の方は骨がしっかりしているのでむしろライオン的な確かさがあるんだけれど、みかんはどこかに流れていくような気がします。



■冷蔵庫の上の猫々マンションなんですが、今日はデルピエ郎の階下にはチューチューマウス君が入っています。なぜか知らないけれど仲良しのようです。夜は左のストライプルームに2匹が折り重なるように最密パッキングで寝ています。朝方には熱すぎるのか降りてきて、台所の冷たい床で腹を冷やしてます。

■そんなこんなのいい加減な猫々日記でお茶を濁していますが、そんなお茶にもたまには茶柱が立つこともあるだろうということで、懲りずにもう少しこのノリで行きたいと思っています。どうぞよろしゅーに。

猫まんが:シンクロナイズド兄妹猫

 

■我が家の猫はよくシンクロして動いている。












■時にはシンクロしきらないこともある。


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