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日々是、数の恍惚・数える至福
- 2015.12.31 Thursday
- ■日々の記録
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
■1■正直なところ、気が付いたら還暦とかいうものを越えていた。世間的にはもうそろそろ人間として成熟の域に達するような意識でいなければならないのかもしれないけれど、そんなことはほとんど意識していない。子供の頃のままの私の意識がずっと中心に居続けていて、そいつは少しも年を取れない。
■2■ドリームスペル的に言えば、この地球上で幻想共有している3次元世界のスペーススーツである「身体」は、「老化」現象に侵されている気もするけれど、余り気にならない。まだまだ充分思い通りに一緒に動いてくれて愛おしい。スペーススーツの原義は宇宙服だが、またこの3次元の空間服でもある。
■3■時にはもう少しイケメンのボディならよかったのにとか思うけれど、それでも思い通りに体が動くことに至福を感じる。考えたことがそのまま言葉として発せられることの不思議。心に浮かんだ初出のメロディを口ずさんでみることもできる至福。奇跡の真っただ中にいるような驚きと恍惚を感じている。
■4■いつまでも大人としての役割をほとんど果たさなくても良い位置にいられることに感謝しつつ、子供のままの私は好きなことをして生きている。年寄りの冷や水とか、いい大人が恥知らずにもとか言われようが、正直に言えば知ったことではない。今日も数と惑星運行と多面体と数比で幸せな1日だった。
■5■このようなままに居させてくれる周囲の環境と世界に対して、こうべを深々と垂れて心から感謝している。例えば今、108:109.2:109.5=360:364:365という関係を見出したけれど、これを元に月・地球・太陽・金星や角度やプラトン立体と人間の思考について、何時間でもBOBと話をしてみたい。
■6■できればこの至福感がこの小さな身体から溢れ出て、他の人に少しでも伝わればいいとも思うけれど、一方的に断わりもなくただそれを望むのは、他者に癒しの念波を送るような暴力だから控えたい。時計の刻針に無理に従わなくて良い脳波・瞬き・心拍・呼吸・食事・睡眠のリズムの何という自然さか。
■7■このような静かな至福感が一生続いていたら多幸症としてまた別の問題になるだろうから、心身共にまた様々な波の中を泳ぐけれど、私の心も体もまだまだ元気で若いと自覚できることが、本当に有難い。周囲に感謝し、世界に感謝し、感謝できる自分自身に感謝して、言葉で伝えるのも終えて進みたい。
論理接合子
- 2015.12.30 Wednesday
- ■言葉と論理の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
命題論理学における接続詞はその前後を入れ替えても元の文と同じであるよう、「論理接合子」と呼んで日常の接続詞と用法が異なることを区別している。
論理和(OR) P∨Q PまたはQ P+Q=Q+P
論理積(AND)P∧Q PそしてQ P×Q=Q×P
含意(→) P→Q PならばQ
しかし日常の接続詞では前後を入れ替えると意味が成り立たなくなることがある。入れ替える前と後とでは同じではない。
本田は後半ピッチに入った。そして本田は決勝ゴールを決めた。
本田は決勝ゴールを決めた。そして本田は後半ピッチに入った。
これが猫ならば、これは哺乳類である。
これが哺乳類ならば、これは猫である。
真理値表とベン図
- 2015.12.29 Tuesday
- ■言葉と論理の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
・真理値表…論理式および論理回路において、すべての入出力の結果を表にしたもの。
・ベン図…複数の集合の関係や、集合の範囲を視覚的に図式化したもの。
複数の集合の関係や、集合の範囲を視覚的に図式化したベン図で論理演算を表したもの。
形式論理学
- 2015.12.28 Monday
- ■言葉と論理の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
形式論理学は現代において、西洋論理学を基盤に置く現代論理学が1種類あるだけだ。しかし多くの場合、現実を語るには不備が多く、語れないことに関しては自由勝手に語っている。現代論理学者ですら、自らの主張を現代論理学では語っていない。
学問的には2つの区分がある。
・蓋然論理学…現代科学の方法論で、扱うのは「事象」。
・演繹論理学…現代論理学の研究対象で、扱うのは「言語(記号)」。
現代の論理学では「事象」と「言語」は異なる論理によっている。何を語り得るかの考察に忙殺され、対象ごとに分野が細分化され、結果として形式のみ語る学問となっている。
1つの命題は事実かどうかで「真」と「偽」に分かれ、それ以外を許さない2値原理に基づいている。
演繹法と帰納法
- 2015.12.27 Sunday
- ■言葉と論理の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
・演繹法は一般的原理から論理的推論により結論として個々の事象を導く方法で、代表的な手法に「大前提・小前提・結論」による3段論法がある。
(例) 大前提(一般的原理)「人間は死ぬ」
小前提(事実など)「Aは人間である」
結論(個々の事象)「Aは死ぬ」
・帰納法は個々の事象から、事象間の本質的な結合関係(因果関係)を推論し、結論として一般的原理を導く方法。
(例) 事例収集(個々の事象)「人間Aは死んだ。人間Bも死んだ。人間Cも死んだ」
因果関係(本質的結合関係):「人間だから死んだ」
結論(一般的原理):「人間は死ぬ」
・演繹法…現状を認識するが、むしろ目指す姿を思考して、改善していく方法。
・帰納法…現状から思考し、目指す姿は曖昧だが、問題点を抽出し改善していく方法。
「演繹」とは与えられた命題から論理的形式に頼って推論を重ね、結論を導き出すこと。前提が真であれば、結論も必然的に真でなければならない。「帰納」とは特殊から一般を推論し、帰結すること。しかしこちらは前提が真であるからといって、結論が真であるということは保証されていない。
龍樹『中論』の八不中道
- 2015.12.26 Saturday
- ■言葉と論理の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
龍樹は2世紀に生まれたインド仏教の僧。「龍樹」とは、サンスクリットの「ナーガールジュナの漢訳名。『中論』は龍樹の著作で、摘要を非常に簡潔にまとめた27章の偈頌からなる詩文形式からなる重要な論書。
その『中論』の冒頭偈はこうだ。「滅することなく生ずることなく、断滅することなく永遠ではなく、同じではなく異なることもなく、来るのでもなく去るのでもなく、戯論を断滅するも無吉祥なる、縁起を説いた、最高の説法者ブッダに対し、わたしは敬礼する。」
プラトン立体の面点変換過程のアルキメデス立体
- 2015.12.25 Friday
- ■多面体と多様体の世界
- 11:56
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- -
- by 小野満麿
■1■プラトン立体とアルキメデス立体の関係を文字づらばかりでとうとうと述べても、それを読む方の負荷はたまったもんじゃないので、画像で簡単にその関係性を示すことにしたい。
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■2■面点変換はある種の回転である。正6面体が直線的に正8面体になると考えるのではなく、その回転の途中の立体にアルキメデス立体が表れている。
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■3■「正6面体→正8面体」と、「正8面体→正6面体」の面点変換は表れる立体が逆になっている。これは「正12面体→正20面体」と「正20面体→正12面体」の関係でも同じてある。
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■4■ただし正4面体は面点変換しても逆向きの正4面体になり、もう1度面点変換してようやく元の向きの正4面体になるが、途中に現れる立体は正8面体と切頭4面体の繰り返しだ。
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■5■ここには13種あるアルキメデス立体のうち、7種が見て取れる。取り敢えず関係性を見てみよう。すでに変形12面体と斜方20・12面体も見ているので、残りはあと4種しかない。
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■6■1段目は正6面体が左から右へと削れて行き正8面体になるまでの中割り図だが、2段目は正8面体が右から左へと削れて正6面体になるまでの図だ。この2段は実は円環をなす。
■7■もう1つ、15年程前に作った正12面体−正20面体の系を面点変換の回転として表した図も。なお「加頭」というのは私の造語で、「加頭〇〇面体」というアルキメデス立体はない。
変形12面体と斜方20・12面体
- 2015.12.24 Thursday
- ■多面体と多様体の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
■アルキメデス立体の中には、「変形12面体」とよく似た「斜方20・12面体」という立体がある。これらを比較してみよう。
・斜方20・12面体…面:62、辺:120、点:60
・一方変形12面体…面:92、辺:150、点:60
・斜方20・12面体の面は正3角形20枚、正方形30枚、正5角形12枚。
・片や変形12面体の面は正3角形80枚、正5角形12枚。
■次に斜方20・12面体の12枚ある正5角形を、同時に回転させてみよう。すると30個あった正方形の対角線が1:√3の菱形になるところがある。そこで短いほうの対角線で15.82度折り曲げると変形12面体になる。
■正5角形12面と正3角形20面を着色してみると、正方形1つが正3角形2つになることが分かるだろう。この変形12面体の正5角形は斜方20・12面体の正5角形よりも13.1064度捩れている。
■斜方20・12面体から変形12面体への変形の中割り画像を入れてみた。部分拡大から1辺1の正方形から1辺1で内角が60度と120度の菱形になり、1辺1の2つの正3角形になるということが見て取れよう。
■なおこの最初の回転を右側にするか左側にするかで、右手系と左手系の2種類の変形12面体が存在する。
変形12面体と正12面体
- 2015.12.23 Wednesday
- ■多面体と多様体の世界
- 20:49
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- -
- by 小野満麿
変形12面体と正12面体の要素の対応を見ていこう。先ず正12面体は正5角形の面が12、線は30、点は20である。
変形12面体の正5角形12枚を残して、80面ある正3角形を塗りつぶすとこうなるが、この赤い部分をそのまま正12面体の30本の線と20個の点に対応していると見ることができよう。
同様にしてそれぞれ3つの正角形に接している正3角形20個を塗りつぶすとこうなるが、これは正12面体の20個の頂点に対応していると見てとれるだろう。
こちらは上の点に対応している正3角形20個以外の残る正3角形60個を塗りつぶした図だが、正12面体の30本の線に対応してみることができるだろう。
この図はそれぞれの12面ある正5角形の5つの辺に正3角形をつけてヒトデ型にしてみた図だ。ヒトデ型が12面と20個の正3角形というわけだ。
変形12面体とその内部
- 2015.12.22 Tuesday
- ■多面体と多様体の世界
- 23:00
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- -
- by 小野満麿
■1■アルキメデス立体の1つ変形12面体を綿棒で作ってみた。プラトン立体は全部で5種類だが、アルキメデス立体は全部で13種類ある。普通はその中の13番目、つまり一番最後にエントリーされる立体だ。最初から1つずつ見て行くのが筋だが、太陽系を外側から見るようにまずはこの大物から見てみたい。
■2■面は正3角形80枚と正5角形12枚の和で92となる。立体が捩れているので正3角形の数は数え難そうだが、正12面体の30本の線に2個ずつの正3角形が、20個の頂点には1個の正3角形が対応していると捉えれば分かりやすい。また線は150、頂点は60で、各頂点に正3角形4枚と正5角形1枚が集まる。
■3■正5角形12面からなる正12面体を綿棒で作ると、安定せずにぐにゃぐにゃに歪んでしまうが、この変形12面体は正12面体の線に当たる部分が正3角形~なるので、補強なしでも自立すると思い、綿棒150本だけで作ってみた。接続部分の不均一さや重力により僅かには歪むが、思った通りちゃんと自立した。
■4■ところでこの内部にさらに綿棒で立体を入れるとしたら、それは一体どんな立体となるのだろう?実際に作ってみた。先ず正5角形面が内向きの正5角錐になるよう30本で補強した。その中に60本を用いて大星型12面体を入れてみたら、大星型12面体の12の頂点は正5角錐の12の頂点とぴったり接合した。
■5■最初の変形12面体で綿棒が150本、変形12面体形の補強用に30本、内接する大星型12面体が60本で、合計240本を使用したことになる。変形12面体はアルキメデス立体の中で最も球体に近い立体である。変形12面体については沢山言いたいことがる。いやアルキメデス立体に対してもいろいろ見て行こう。
■6■とは言ったものの、麺棒多面体の立体感覚が分からないかも知れないので、老婆心から動画を一つ上げておくことにします。39秒あります。画像はHDで見た方が細部が分かりやすいかと。
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